Liczby przenikają dzisiaj całą naszą rzeczywistość. Spotykamy je, gdy staramy się ustalić kolejność (porządkujemy zbiór). Używamy ich, gdy dokonujemy pomiarów, operujemy nimi w bankach i sklepach. Bardzo często nie zdajemy sobie sprawy z faktu, że towarzyszą nam one w wielu pracach, np. gdy piszemy tekst, korzystając z komputera, litery wystukiwane na klawiaturze zostają zamienione na ciągi zer oraz jedynek i w tej postaci są przetwarzane przez urządzenia komputera. Niekiedy liczby służą plastykom do przedstawienia ich wizji rzeczywistości. Liczbami zafascynowani są między innymi poeci (świadczy o tym na przykład piękny wiersz W. Szymborskiej pt. Liczba Pi, muzycy, filozofowie.

Na łamach naszego serwisu prezentujemy najważniejsze fakty dotyczące liczb naturalnych. Uzupełniamy dotychczasową wiedzę i rozszerzamy o cenne informacje. Dzięki zawartej na stronie wiedzy zdobędziesz podstawy do rozważania dalszych, ciekawych problemów matematycznych.

W praktycznych zastosowaniach najczęściej spotykane są liczby naturalne. Zbiór tych liczb oznaczamy literą N. Można zapisać N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Liczby te są tak powszechnie znane, że niewielu ludzi pyta o historię ich powstawania. Sama nazwa sugeruje oczywistość ich istnienia i praw z nimi związanych. Tymczasem bardzo długa i ciekawa jest historia tworzenia naszego systemu dziesiątkowego (dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę wyższego rzędu) oraz nadawania kształtu tzw. cyfrom arabskim.

Jednym z najstarszych jest babiloński system sześćdziesiątkowy (był to już system pozycyjny, który zachował się do dziś, np. w sposobie określania czasu).

Znane są również znaki rzymskie, choć sposób zapisu liczb znacznie utrudniał opracowanie skutecznych metod rachunkowych. Bardzo ciekawa jest historia powstania tych znaków. Jedynce początkowo odpowiadał uproszczony rysunek jednego palca, a piątce - uproszczony rysunek dłoni z odchylonymi skrajnymi palcami. Symbole 100 i 1000 są pierwszymi literami słów centrum i mille. Nie wiadomo natomiast, skąd pochodzą symbole L (50) oraz D (500).

System dziesiątkowy stworzyli Hindusi, a od nich przejęli go Arabowie. Rycerze europejscy przywieźli z wypraw wojennych księgi arabskie i układ ten systematycznie rozpowszechniał się na naszym kontynencie (chociaż nie bez oporów - jeszcze w 1299 r. we Florencji wydano zakaz używania tego systemu).

liczby naturalne

W zbiorze liczb naturalnych można wyróżnić pewne interesujące podzbiory, np. zbiór liczb parzystych (tzn. takich liczb m, że m = 2n, gdzie n ∈ N, zbiór liczb nieparzystych (które są postaci: 2n + 1, gdzie n ∈ N), zbiór liczb pierwszych (tzn. liczb większych od 1, które dzielą się bez reszty jedynie przez 1 i samą siebie, np. 2, 3, 5, 7, 11...), zbiór liczb złożonych (tzn. takich liczb większych od 1, które nie są liczbami pierwszymi).

Twierdzenie 1. Jeśli m jest liczbą naturalną oraz m2 jest liczbą parzystą, to m również jest liczbą parzystą.

Dowód (nie wprost). Przypuśćmy, że m jest liczbą nieparzystą. Istnieje wtedy liczba naturalna a, dla której m = 2n + 1, a więc m2 = 4n2 + 4n + 1 również jest liczbą nieparzystą, co jest sprzeczne z założeniem twierdzenia.

Twierdzenie 2. (zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Każda liczba złożona jest iloczynem liczb pierwszych.

Zbiór liczb naturalnych stanowi podzbiór zbioru liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych będziemy oznaczać literą C. Możemy w takim razie zapisać C = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ...}